Hodnoty funkcií

Určité hodnoty goniometrických funkcií dokážeme určiť pomocou jednotkovej kružnice alebo grafov funkcií. V praxi stačí zistiť hodnotu sin x a cos x a potom už pomocou definícii funkcií tangens, kotangens, sekans a kosekans dokážeme určiť aj ich funkčné hodnoty pre uhol x. Hodnoty x, pre ktoré dokážeme zistiť hodnotu všetkých funkcií, sú 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, 450°..., teda násobky čísla 90°. Presné funkčné hodnoty sa zistili ale aj pre iné hodnoty argumentu x. Konkrétne pre 30°, 60° a 45°. Ukážeme si, ako sme prišli ku funkčným hodnotám argumentu 30° a 60°.

Vychádzame z rovnostranného trojuholníka (obrázok), ktorý rozdeľuje jeho výška na dve polovice. Výška je kolmá na stranu, preto na jej výpočet môžeme použiť Pytagorovu vetu. Na obrázku je tento vypočet prevedený. Zistili sme, že výška sa dá zapísať pomocou dĺžky strany ako v = a/2. Takto sme sa dopracovali ku pravohlému trojuholníku BSC, ktorého strany sú vyjadrené pomocou rovnakej premennej, navyše sú v ňom známe všetky uhly. Pretože goniometrické funkcie sú aj pomery strán v pravouhlom trojuholníku, dokážeme si ich bez väčších problémov odtiaľ vybrať. Všímajme si najprv uhol 30°, potom sin 30° = (a/2)/a = 1/2; cos 30° = (a/2)/a = /2. Potom tg 30° = (sin 30° / cos 30°) = /3; cotg 30° = ; sec 30° = 2/3 a cosec 30° = 2. Čo sa týka uhla 60°, budú funkčné hodnoty nasledovné: sin 60° = /2; cos 60° = 1/2; tg 60° = ; cotg 60° = /3; sec 60° = 2 a cosec 60° = 2/3. Ostáva nám ukázať si, ako dostaneme hodnoty pre uhol 45°. K tomu nám pomôže tento obrázok:

Na obrázku sa nachádza pravouhlý trojuholník KLM s pravým uhlom pri vrchole M. Poznáme dve strany, KM a ML, stranu KL si potom dokážeme vypočítať pomocou Pytagorovej vety. Postup výpočtu sa nachádza pri obrázku. Zistíme, že KL = k. Takto poznáme všetky tri strany trojuholníka vyjadrené pomocou jedinej premennej, poznáme aj uhly. Funkčné hodnoty pre uhol 45° zistíme pomocou tohto trojuholníka. Potom: sin 45° = /2; cos 45° = /2; tg 45° = 1; cotg 45° = 1; sec 45° = a cosec 45° = .

Pomocou jednotkovej kružnice definujeme aj uhly väčšie ako 90°. Ak poznáme hodnoty pre uhly 0°, 30°, 45°, 60° a 90°, potom nie je ťažké zistiť aj funkčné hodnoty v iných kvadrantoch. Napríklad ak zvýšime uhol o hodnotu periódy funkcie (u y = tg x a y = cotg x je to , u ostatných je to 2), potom ide o tú istú funkčnú hodnotu (napr sin 30° = sin 390° = sin 750° = sin 1110°... = 1/2). Pri určovaní iných hodnôt nám dobre poslúžia grafy funkcií (napr. ľahko vidno, že sin 60° = sin 120°). Na záver tabuľka hodnôt goniometrických funkcií pre vybrané uhly z intervalu <0°;360°> (V stĺpcoch sú veľkosti uhlov, v riadkoch sú funkcie) :

  30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
sin x 0 1 0 -1 0
cos x 1 0 -1 0 1
tg x 0 1 ned. -1 0 ned. 0
cotg x ned. 1 0 -1 ned. 0 ned.
sec x 1 2 ned. -2 -1 ned. 1
cosec x ned. 2 1 2 ned. -1 ned.