Použitie funkcií

S goniometrickými funkciami súvisí nespočetné množstvo rôznych úloh a matematických príkladov, napríklad náčrt grafov funkcií, goniometrické rovnice, nerovnice a ich sústavy a mnohé iné. Pri načrtávaní grafov sa opierame o základné grafy funkcií, pri rovniciach prevažne o vzorce používané pri goniometrických funkciách a pri nerovniciach sa opierame čiastočne o vzorce a čiastočne o grafy funkcií.

Praktické využitie goniometrických funkcií sa opiera často v technických a prírodných vedách o tzv. riešenie trojuholníka. O tejto časti matematiky hovoríme ako o trigonometrii. Jej názov je prevzatý z gréčtiny a v doslovnom preklade znamená meranie trojuholníka. V trigonometrii hľadáme postupy, ktoré nám umožnia vypočítať z daných údajov o trojuholníku ďalšie údaje, napríklad veľkosti strán, vnútorných uhlov, výšok, ťažníc, obsah trojuholníka, polomer opísanej alebo vpísanej kružnice.

Najjednoduchšie sa používajú goniometrické funkcie v pravouhlom trojuholníku. Stačí iba vedieť, ktorú zo strán poznáme a ktorý údaj máme zistiť. Vyžaduje sa použitie vhodnej funkcie, podrobne opísané je to v definícii funkcií.

V praxi sa však stretávame častejšie s riešením ľubovoľných trojuholníkov. Každý trojuholník možno riešiť tak, že ho rozdelíme výškou na dva pravouhlé trojuholníky. Takýto postup by bol obyčajne príliš zdĺhavý. Jednoduchšie bude použiť na riešenie sínusovú alebo kosínusovú vetu.

Sínusová veta

Pre každý trojuholník ABC, ktorého vnútorné uhly majú veľkosť , , a strany veľkosť a, b, c, platí:

Sínusovú vetu môžeme previesť do viacerých tvarov, podľa toho, ako nám to pri riešení príkladu bude vyhovovať. Využívať ju je výhodné vtedy, ak sú dané:

  1. veľkosť jednej strany a veľkosti dvoch uhlov - počítame veľkosť ďalšej strany,
  2. veľkosti dvoch strán a veľkosť uhla proti jednej z nich - počítame veľkosť ďalšieho uhla.

Kosínusová veta

Pre každý trojuholník ABC, ktorého vnútorné uhly majú veľkosť , , a strany veľkosť a, b, c, platí:

Kosínusová veta je zovšeobecnením Pytagorovej vety pre všetky trojuholníky. Používať ju je výhodné vtedy, ak sú dané:

  1. veľkosti dvoch strán a veľkosti uhla, ktorý zvierajú - počítame veľkosť tretej strany,
  2. veľkosti troch strán - počítame veľkosť uhla.