Funkcia sínus

Sínus je funkcia, ktorá každému reálnemu číslu x priradí súradnicu y bodu M. (Vychádzame z definície, kde vystupuje orientovaný uhol AOM.) Číslo x predstavuje hodnotu uhla , pričom hodnota uhla môže byť uvedená v stupňoch aj v radiánoch. Pri goniometrických funkciách sa v prevažnej miere používajú radiány. Pre úplnosť spomeniem, že [plný uhol] = [360°] = [2 rad].

Ako dostaneme graf funkcie sínus? Priebeh funkcie závisí od súradnice y bodu M. Zväčšovaním hodnoty uhla sa mení poloha bodu M na kružnici. Poďme si vysvetliť "pohyb" tohto bodu, ak sa bude zvyšovať hodnota uhla . Ak = 0°, potom súradnica y bodu M je rovná nule. Ak zväčujeme veľkosť uhla , potom je súradnica y bodu M kladná, pričom rastie. Ak = 90°, potom bod M má súradnice [0;1] a súradnica y bodu M je rovná jednej. Vidíme, že súradnica y bodu M nemôže mať väčšiu hodnotu, ako 1. Z toho vyplýva, že maximum funkcie y = sin x je 1. Ak = 90°, potom zväčšovaním hodnoty veľkosti uhla sa funkčná hodnota znižuje. Ak = 180°, potom bod M má súradnice [-1;0] a funkčná hodnota je rovná nule. Ak potom zväčujeme aj ďalej veľkosť uhla , vidíme, že súradnica y bodu M nadobúda záporné hodnoty. Pri postupnom zväčšovaní uhla sa súradnica y bodu M znižuje. Pri uhle = 270° má bod M súradnice [0;-1] a funkčná hodnota funkcie y = sin x je -1. Z obrázku je zrejmé, že nižšiu hodnotu nadobudnúť nemôže. Preto je jej minimum -1. Ak = 270°, potom zvyšovaním veľkosti uhla sa hodnota súradnice y bodu M zvyšuje, až napokon pre = 360° sa stane, že bod M bude totožný s bodom A. Jeho súradnica y bude opäť rovná nule. Čo sa vlastne stalo? Stalo sa to, že bod M "urobil pohyb" po kružnici tak, že ju celú opísal a ocitol sa tam, kde bol na začiatku. Teraz, pri = 360° sa zväčšovaním uhla bude celý cyklus opakovať a hodnoty súradnice y bodu M budú rovnaké, ako pri prvom "opise kružnice" bodom M. Po tomto vysvetlení je možné zostrojiť graf funkcie sínus:

Na obrázku je znázornená jedna perióda funkcie sínus. Perióda znamená, že sa istá časť funkcie nekonečne opakuje. Pre hodnoty väčšie ako 2 by sa opakoval tento istý graf. Pre goniometrické funkcie platí, že v každom zo štyroch kvadrantov sa menia vlastnosti funkcie. Prvý kvadrant je od 0° do 90°, resp. od 0 do /2 radiánov, druhý kvadrant je od 90° do 180° (od /2 do radiánov), tretí je od 180° do 270° (od do 3/2 radiánov) a štvrtý kvadrant je od 270° do 360° (od 3/2 do 2). Pre funkciu sínus platí, že jej funkčné hodnoty sú kladné v 1. a 2. kvadrante a záporné v 3. a 4. kvadrante. Rastúca je v 1. a 4. kvadrante, klesajúca je v 2. a 3. kvadrante. Periódou funkcie je 2 a z toho dôvodu sa pre zápis vlastností funkcie používa číslo k, ktoré predstavuje ľubovoľné číslo z množiny celých čísel.

Vlastnosti funkcie sínus: