Goniometrické funkcie

Na základnej škole sme definovali goniometrické funkcie ako pomery medzi odvesnami a preponou pravouhlého trojuholníka. Poznali sme štyri funkcie: Sínus, kosínus, tangens a kotangens. Existujú však ešte ďalšie dve funkcie: Sekans a kosekans. Stredoškolská literatúra pozná až dve definície. Prvá z nich je, podobne ako na základnej škole, definícia pomocou pomerov odvesien a prepony pravouhlého trojuholníka. Tá vyzerá nasledovne:

Sínus definujeme ako pomer dĺžky protiľahlej odvesny a prepony.

Kosínus definujeme ako pomer dĺžky priľahlej odvesny a prepony.

Tangens definujeme ako pomer dĺžky protiľahlej odvesny a priľahlej odvesny.

Kotangens definujeme ako pomer dĺžky priľahlej odvesny a protiľahlej odvesny.

Sekans definujeme ako pomer dĺžky prepony a priľahlej odvesny.

Kosekans definujeme ako pomer dĺžky prepony a protiľahlej odvesny.

Na strednej škole sa rozšírila definícia goniometrických funkcií. Zatiaľ čo v pravouhlom trojuholínku mohla byť veľkosť iba od 0° do 90°, pri tejto definícii možno rozšíriť definičný obor goniometrických funkcií sínus a kosínus na celú množinu reálnych čísel. Funkčné hodnoty funkcií sínus a kosínus sú potom definované pomocou karteziánskych súradníc priesečníku M = [x,y] koncového ramena orientovaného uhla AOM (jeho vrchol leží v počiatku a počiatočné rameno OA splýva s kladnou poloosou osi x) s jednotkovou kružnicou so stredom vo vrchole O a polomerom r = 1. Obrázok:

Obrázok sa dá vysvetliť nasledovne: Bod O má súradnice [0;0], bod A má súradnice [1;0]. Uhol je veľkosť orientovaného uhla AOM. Bod M je prienik polpriamky, ktorá je druhým ramenom uhla AOM (prvé rameno je OA) a kružnice so stredom v počiatku a polomerom r = 1. Potom sínus uhla je súradnica y bodu M (na obrázku je to označené červenou farbou) a kosínus je súradnica x bodu M (na obrázku označené modrou farbou). Takto je možné definovať hodnoty sin a cos pre hocijaký uhol z intervalu od 0° do 360°. Hodnota tg je definovaná ako podiel sin a cos , teda tg = sin / cos . Hodnota cotg je definovaná ako podiel cos a sin , teda tg = cos / sin . Hodnotu tg je možné pomocou karteziánskej sústavy nájsť. Priamka kolmá na os x prechádzajúca bodom A sa nazýva dotyčnica hodnôt funkcie tangens, na obrázku je označená ako priamka p. Priesečník priamky OM a priamky p je označený ako bod P. Potom tg je dĺžka medzi bodmi A a P. Podobne, aj hodnotu cotg je možné pomocou sústavy nájsť. Priamka kolmá na os y prechádzajúca bodom [0;1] sa nazýva dotyčnica hodnôt funkcie kotangens, na obrázku je označená ako priamka q. Priesečník priamky OM a priamky q je označený ako bod Q. Potom cotg je dĺžka medzi bodmi [0;1] a Q. Málo používanú funkciu sekans definujeme ako prevrátenú hodnotu cos : sec = 1/ cos . Funkciu kosekans definujeme ako prevrátenú hodnotu sin : cosec = 1/ sin .